数值积分（24个基本积分公式）

今天给大家介绍数值积分，以及24个基本积分公式对应的知识点。希望对你有帮助，也别忘了收藏这个网站。

什么是数值积分？

数值积分，用来求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分值的一种方法和理论。在数学分析中，计算给定函数的定积分并不总是可行的。很多定积分用已知的积分公式是得不到精确值的。

数值积分就是利用黎曼积分等数学定义，通过数值逼近来逼近给定的定积分值。借助电子计算设备，数值积分可以快速有效地计算复杂积分。

必要性:

数值积分的必要性源于计算函数原函数的困难。用原函数计算定积分的方法是以牛顿-莱布尼茨公式为基础的。原函数可以用初等函数表示，但大部分可积函数的积分都不能用初等函数表示，甚至没有解析表达式。

此外，当积分区域为曲面、三维体甚至高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能用更广泛的格林公式或斯托克斯公式转化为更低维的积分，但只能在少数情况下使用。所以我们只能用数值积分来计算函数的近似值。

百度百科-数值积分

用matlab求解函数的数值积分

matlab中常用的求函数的数值积分法，可以通过以下函数求解:

1.对于之一次积分，有Quadr[自适应步长的Simpson数值积分]，Quadr[高精度的lobato数值积分]，Quadr GK[自适应步长的Gauss-Kronold数值积分]和trapz[梯形数值积分]。上述函数调用的格式如下。

Quadr (fun，a，b)% fun-被积函数，a-积分下限，b-积分上限。

Quadrol(fun，a，b)% fun-被积函数，a-积分下限，b-积分上限。

Quadrgk (fun，a，b)% fun-被积函数，a-积分下限，b-积分上限。

Trapz (x，y)% x-自变量[a，b]区间内的算术向量，x对应的y-被积函数的函数值。

2.二重积分包括quad2d【平面区域数值积分】和dblquad【矩形区域数值积分】，它们的调用格式如下

quad2d(fun，xmin，xmax，ymin，ymax)

dblquad(fun，xmin，xmax，ymin，ymax)

3.对于三重积分，有triplequad【三维矩形区域的数值积分】，其调用格式为

triplequadfun，xmin，xmax，ymin，ymax，zmin，zmax)

数值积分法求解

在数值分析中，数值积分是计算定积分值的一种方法和理论。在数学分析中，计算给定函数的定积分并不总是可行的。很多定积分用已知的积分公式是得不到精确值的。数值积分是利用黎曼积分、积分中值等数学定义和定理，通过数值逼近来逼近给定的定积分值。借助电子计算设备，数值积分可以快速有效地计算复杂的积分，以简单的方式解决具体的数值问题。但数值积分的难点在于计算时间有时过长，有时会出现数值不稳定，需要强有力的理论支持。黎曼积分在实数分析中，由黎曼创立的黎曼积分首次给出了函数积分在给定区间内的精确定义。对于一个给定区间内的非负函数，我们想把曲线与坐标轴之间的图形面积确定为曲线与坐标轴之间面积的黎曼积分。黎曼积分的核心思想是试图通过无限逼近来确定积分值。如果函数取负值，相应的面积值也取负值。积分中值定理揭示了一种将积分转化为函数值或者将复杂函数转化为简单函数的方法。如果函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，则在积分区间[a，b]内至少有一个点ξ。设下面的公式在[a，b] = f(ξ)(b-a)上积分(f(x))，其中a，b，ξ满足:a≤ξ≤b，数值积分的必要性源于函数原函数计算的困难。用原函数计算定积分的方法是以牛顿-莱布尼茨公式为基础的。而只有少数原函数可以用初等函数表示，大部分可积函数的积分都不能用初等函数表示，甚至没有解析表达式(不能积分的函数)。比如常见的正态分布函数的原函数就不能用初等函数来表示。而且在很多实际应用中，我们可能只知道积分函数在某些特定点的值，或者积分函数可能是一个微分方程的解，不可能通过求原函数来计算函数的积分。另外，当积分区域为曲面、三维体甚至高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能用数值积分来计算函数的近似值。矩形法矩形法是计算定积分近似值的一种方法。它的思想是求几个矩形的面积之和，这些矩形的高度由函数值决定。积分区间[a，b]分为n个长度相等的子区间，每个子区间的长度为(a-b)/n，这些矩形的左上角、右上角或顶边的中点在被积函数上。这样，这些矩形的面积之和就近似等于定积分的近似值。由函数上的点是左上角、右上角还是矩形顶边的中点来确定，也分别称为下(左)矩形公式、上(右)矩形公式和中矩形公式。当n逐渐增加时，这种近似更精确。矩形法的计算与黎曼积分的定义本质上是一致的。无论取以上几点的哪一个值，最终求和公式的值都会趋近于定积分的值。为了计算更精确的定积分，梯形法用梯形代替矩形来计算定积分的近似值。它的思想是求几个梯形的面积之和，这些梯形的长、边、高都是由函数值决定的。这些梯形左上角和右上角在被积函数上。这样，这些梯形的面积之和就近似等于定积分的近似值。辛普森定律矩形法和梯形法都是用直线段拟合函数曲线，另一种形式是用曲线段拟合函数来实现近似逼近。辛普森法则用二次曲线逼近代替矩形或梯形积分公式，得到定积分的数值近似解。一般插值法中数值积分的另一个思路是用一个易于计算且与原函数“接近”的函数代替原函数。这里的“接近”是指两者的定积分值在积分区间内比较接近。最自然的想法是使用多项式函数。比如给定一个函数，原函数在积分区间内用拉格朗日插值。得到拉格朗日插值多项式后，计算这个多项式的积分。拉格朗日插值拉格朗日插值是一种多项式插值方法，可以找到一个多项式，这个多项式取给定函数在积分区间内每一点的值。这个多项式叫做拉格朗日多项式。数学上，拉格朗日插值多项式可以给出一个通过二维平面上几个已知点的多项式函数。对于给定的n+1个点，只有一个次数不超过n的拉格朗日多项式，牛顿-柯特斯法则/牛顿-柯特斯公式是一种基于拉格朗日多项式的通用插值方法。梯形法则和辛普森法则是牛顿-科尔特斯公式的特例。因为拉格朗日多项式的系数是常数，所以乘积函数的系数也是常数。这种方法的缺点是在高次多项式上误差很大(龙格现象)，不如高斯积分法。龙格现象在数值分析领域，龙格现象是用高阶多项式进行多项式插值时出现的问题。在某些高次多项式的等距点xi处进行插值，会导致插值结果的振荡。可以证明，当多项式的阶数增加时，插值误差甚至会趋于无穷大。解决龙格现象的方法是用切比雪夫节点代替等距点来减少振荡。在这种情况下，更大误差随着多项式阶数的增加而减小。这种现象说明高次多项式通常不适合插值。这个问题可以通过使用分段多项式样条来避免。如果要减小插值误差，可以在不增加多项式阶数的情况下，增加组成样条的多项式个数。之一类切比雪夫多项式的根(切比雪夫节点)可用于多项式插值。相应的插值多项式可以最小化龙格现象，并提供连续函数中多项式的更佳一致逼近。代数精度评价的代数精度用来衡量原函数和数值积分结果的逼近程度。如果E(f)=0对于f (x) = x k (k = 0，1，…，d)，但当f (x) = x (d+1)时不再是精确方程，那么求积公式的代数精度称为d .根据K. Weisstras的多项式逼近定理，就一般连续函数而言，

数值积分的精度和稳定性

数值求积是一种近似的求积方法。为了保证精度，我们自然希望求积公式能尽可能精确地建立列表函数f(x)，这就提出了代数精度的概念。

★定理如果一个次数小于等于m的多项式可以精确成立，但对于次数为m+1的多项式不一定精确，则称求积公式具有m次的代数精度。..

给定一组节点a ≤ x0x1x2…xn ≤ b，且函数f(x)在这些节点的值已知，很容易找到插值多项式Ln(x)的原函数，所以取。

地球物理数据处理基础

作为I = ∫ BAF (x) dx的近似值，那么根据插值残差方程(6-28)可以知道积分残差项。

地球物理数据处理基础

根据公式(7-3)，对于次数小于等于n的多项式f(x ),剩余项r [f]等于0，那么此时的求积公式至少具有n的代数精度。

显然，精确建立的n越大，求积公式对于“尽可能多”的列表函数就能越精确，求积公式的精度也应该越高，所以代数精度是反映求积公式精度的一个重要指标。

在数值积分的计算中，还要考虑另一个更重要的指标——数值稳定性，即数值积分的误差不随求积节点的变化而变化，因此具有良好的数值稳定性。

对于n+1个观测数据点yi = xi (i = 0，1，2，…，n)，我们可以构造一个唯一的n次插值多项式Ln(x)，是否意味着构造的插值多项式的次数n越大越好？显然不是，因为高阶拉格朗日插值数据的不稳定(龙格现象)会完全带到相应的积分结果中，高阶插值求积公式是不稳定的，解决方法之一就是下面要讨论的复数低阶求积法。

关于数值积分的介绍到此为止。感谢您花时间阅读本网站的内容。别忘了在这个网站上找到更多关于24个基本积分公式和数值积分的信息。